Maximum d'une fonction sur un intervalle - Exemple 1

Exemple 1

Voici la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle\([-1;3]\), dans un repère orthonormé du plan.

On veut déterminer graphiquement le maximum de la fonction \(f\) sur l'intervalle\([-1;3]\).
Pour cela, on cherche l'ordonnée du point de \(C_f\) situé "le plus haut" : c'est le point de coordonnées \((2,4)\). Pour tout \(x\in[-1;3]\;:f(x)\leq4\). Donc \(4\) est le maximum de \(f\) sur l'intervalle \([-1;3]\). Comme \(f(2)=4\), ce maximum est atteint en \(x=2\).

On peut aussi formuler de la manière suivante : \(f\) admet \(4\) pour maximum sur l'intervalle \([-1;3]\) qui est atteint en \(x=2\).

Remarque

Dans l'exemple précédent, on peut chercher le maximum de \(f\) non pas sur l'intervalle\([-1;3]\) mais sur un intervalle restreint comme l'intervalle \([-1;1]\) par exemple.
On obtient alors ceci : le maximum de \(f\) sur l'intervalle \([-1;1]\) est \(3\) et il est atteint en \(x=1\) .
Ce qui se traduit par : pour tout \(x\in [-1;1]\;f(x)\leq3\) et \(f(1)=3\).